Финансовая математика (подробно)

В данном разделе, вы сможете найти основные и часто используемые формулы для расчетов на финансовых рынках. Данные формулы будут особенно полезны для подготовке к сдаче специализированного экзамена на получение аттестата специалиста по финансовым рынкам.

 

1. Расчет будущей стоимости вклада при открытии депозитного вклада.

1.1. Расчет будущей стоимости вложений при начислении простого процента.

- при вкладе на 1 год;

- при вкладе более чем на 1 год;

- при вкладе не кратном одному году.

Где:

FV – будущая стоимость вложения;
PV – текущая стоимость вложения;
r - ставка процента под который размещаются средства в расчете на 1 год, выраженный в долях еденицы;
n – количество начисления процентов под ставку r;
База – количество дней в году.

 

1.2. Расчет будущей стоимости вложений при начислении сложного процента.

- при вкладе на 1 год;

- при вкладе более чем на 1 год;

- при вкладе не кратном одному году.

 

Где:

FV – будущая стоимость вложения;
PV – текущая стоимость вложения;
r - ставка процента под который размещаются средства в расчете на 1 год, выраженный в долях еденицы;
n – количество начисления процентов под ставку r;
m – кол-во периодов начисления по ставке r в расчете одного года
База – количество дней в году.

 

1.3. Расчет будущей стоимости вложений при начислении непрерывного процента.

- при вкладе на 1 год;

 

Где:

FV – будущая стоимость вложения;
PV – текущая стоимость вложения;
r - ставка процента под который размещаются средства в расчете на 1 год, выраженный в долях еденицы;
T – период начисления в годах;
e – 2.71

2. Расчет форвардной цены акции.

- форвардная цена акции;

- форвардная цена акции при выплате дивиденда в самом конце жизни контракта;

- форвардная цена акции при выплате дивиденда во время действия контракта;

- форвардная цена акции если дивиденд выплачивается несколько раз на акцию;

 Где:

F – форвардная цена акции;
S – цена спот акции;
r - ставка без риска, выраженный в долях еденицы;
r_T1 – форвардная ставка без риска для периода T-t1;
r_T,ti – форвардная ставка для периода времени с момента выплаты i-ого дивиденда до момента окончания действия контракта;
T – период времени до истечения контракта;
t₁ – момет времени выплаты дивиденда;
t_i - момет времени выплаты i-ого дивиденда
База – количество дней в году;
div – начисляемый дивиденд;
div_i – i-ый дивиденд выплачиваемый в течении действия контракта;
n – кол-во выплачиваемых дивидендов.

 

3. Расчет форвардной цены валюты, товара

- форвардная цена валюты;

 

Где, для валюты:

F – форвардная цена валюты;
S – цена спот валюты;
r- ставка без риска, той валюты которая бы конвертировалась;
r_f - ставка без риска, той валюты по которой определяем форвардную цену;
T – период времени до истечения контракта;

- форвардная цена товара;

Где, для товара:

F – форвардная цена товара;
S – цена спот валюты товара;
r - ставка без риска, выраженный в долях еденицы;
T – период времени до истечения контракта;
База – количество дней в году;
Z – расходы по хранения и страхованию за период T;

 

4. Расчет цены облигации и ее параметров.

- текущая стоимость облигации, купонной;

- текущая стоимость облигации, дисконтной;

- чистая цена облигации;

- накопленный купонный доход;

- дюрация Маколея (при выплате купона один раз в год) - показывает, когда в среднем будут получены платежи по облигации, включая купоны и номинал, измеряется в годах;

- дюрация Маколея (при выплате купона несколько раз в год);

- дюрация Маколея (при выплате купона раз в год и сроки жизни облигации много лет);

Где:

PV – текущая стоимость облигации;
N – номинал облигации;
r - ставка без риска, выраженный в долях еденицы;
С – размер выплачиваемого купона;
n – кол-во лет жизни облигации;
ЧЦО – чистая цена облигации;
ГЦО – грязная цена облигации;
НКД – накопленный купонный доход
D_н – день начала купонного периода;
D_о – день окончания или дня расчета НКД;
D – дюрация Маколея;

 

5. Расчет стоимости европейских опционов колл и пут по которым не выплачиваются дивиденды (уравнение Блэка-Шоулаза).

Где:

c_e – премия европейского опциона колл;
p_e – премия европейского опциона пут;
S₀ – цена спот акции;
X – цена исполнения (страйк);
r - ставка без риска, выраженный в долях еденицы;
T – период времени до истечения контракта;
e – 2.71
σ – мгновенное стандартное отклонение доходности акций
N(d_i) – функция нормального распределения (в Excel функция НОРМРАСП)

 

6. Расчет верхней и нижней границ премии амеранских и европейских опционов колл и пут.

6.1. Дивиденды не выплачиваются в течении срока жизни опциона.

- Европейский опцион колл;

- Европейский опцион пут;

- Американский опцион колл;

 

- Американский опцион пут;

6.2. Дивиденды  выплачиваются в конце срока жизни опциона.

- Европейский опцион колл;

 

- Европейский опцион пут;

 

- Американский опцион колл;

 

- Американский опцион пут;

 

Где:

c_e – премия европейского опциона колл;
c_a – премия американского опциона колл;
p_e – премия европейского опциона пут;
p_a – премия американского опциона пут;
S – цена спот акции;
X – цена исполнения (страйк);
r - ставка без риска, выраженный в долях еденицы;
T – период времени до истечения контракта;
База – количество дней в году.

 

7. Паритет европейских и америнских опционов (взаимосвязь стоимости опционов между собой).

7.1. Для европейских опционов.

Где:

c_e – премия европейского опциона колл;
c_a – премия американского опциона колл;
p_e – премия европейского опциона пут;
p_a – премия американского опциона пут;
S – цена спот акции;
X – цена исполнения (страйк);
r - ставка без риска, выраженный в долях еденицы;
T – период времени до истечения контракта;
D – дивиденды;
База – количество дней в году.

 

7.2. Для американских опционов (паритет только для европейских опционов, для амеканских можно выделить только взаимосвязь)

 

Где:

c_e – премия европейского опциона колл;
c_a – премия американского опциона колл;
p_e – премия европейского опциона пут;
p_a – премия американского опциона пут;
S – цена спот акции;
X – цена исполнения (страйк);
r - ставка без риска, выраженный в долях еденицы;
T – период времени до истечения контракта;
D – дивиденды;
База – количество дней в году.

 

8. Коэффициенты чувствительности премии опциона (греки).

8.1.  Формула расчета дельты (показывает, в какой мере изменится премия опциона при изменении цены базисного актива на один пункт).

 

8.2. Формула расчета гаммы (показывает, в какой мере изменится значение дельты опциона при изменении цены базисного актива на один пункт).

 

8.3. Формула расчета веги (показывает степень изменчивости премии опциона при изменении внутреннего стандартного отклонения).

8.4. Тета (с какой скоростью падает цена опциона по мере приближения срока истечения контракта при сохранении прочих условий рынка неизменными), данные формулы для тетты представлены в расчете для одного дня.

8.5. Ро (как изменится премия опциона при изменении процентной ставки на один процент).

Где:

c – премия опциона колл;
p – премия опциона пут;
∆ - дельта опциона;
γ – гамма опциона;
θ – тетта опциона;
ρ – ро опциона;
S – цена спот акции;
X – цена исполнения (страйк);
r - ставка без риска, выраженный в долях еденицы;
T – период времени до истечения контракта;
σ – внутреннее стандартное отклонение.

 

9. Формулы для расчета ожидаемого риска портфеля.

- средняя доходность акций, входящих в портфель;

- доходность портфеля расчитывается, как сумма произведений доходности актива за i-ый год на его кол-во в портфеле (в долях еденицы);

- дисперсия доходности портфеля в расчете на один год;

- та-же дисперсия доходности портфеля в расчете на один год, только название у неё исправленная (ей целесообразно пользоваться если число наблюдений меньше 30);

- дисперсия доходности портфеля состоящего из нескольких бумаг, расчет через ковариацию (в расчете на один год);

- стандартное отклонение доходности акций (расчитывается в расчете на такойже период ,как доходность, если в задаче сказана, что доходность акции  в период в расчете на дни, составляло столькото, то и стандартное отклонение будет считаться в расчете на дни и т.д.);

- стандартное отклонение доходности акций (в расчете на день);

- стандартное отклонение доходности акций (за некоторый период времени);

- выборочная ковариация;

- коэффициент корреляции переменных X и Y (находится в диапазоне от -1 до +1, всегда);

– Value at Risk, показывает, какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора в течении определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью (акций, портфеля акций);

– Value at Risk, формула для облигаций;

Где:

r - средняя доходность акций, входящих в портфель;
r_i - доходность i-ого актива;
θ_i - доля i-ой акции в общем портфеле в процентах;
σ² – дисперсия портфеля;
σ – стандартное отклонение доходности акций;
σ_г – стандартное отклонение доходности акций (в расчете на год);
n – кол-во акций в портфеле;
cov_xy - выборочная ковариация;
corr_xy - коэффициент корреляции переменных X и Y (находится в диапазоне от -1 до +1, всегда)
P – объем портфеля;
Z – уровень доверительной вероятности (определяется по таблице нормального распределения, функция Лапласа);
Т – отрезок времени, для которого рассчитывается VaR.

 

Удачных Вам расчетов...!!!